الحدود والأقواس

لكل حد معامل وجزء حرفي، والإشارة التي قبله جزء من معامله: معامل −س هو −١.

الحدود المتشابهة لها الجزء الحرفي نفسه تمامًا، أي المتغيرات نفسها بالأسس نفسها.

س وس² غير متشابهين، أما سص وصس فمتشابهان.

لتجمعها، افرزها حسب الجزء الحرفي، واجمع معاملاتها، واترك الجزء الحرفي كما هو.

إذا كانت المعاملات كسورًا فوحّد المقامات، ولا تجمعها.

لتفكّ القوس، اضرب العامل الذي خارجه في كل حد داخله.

العامل السالب يقلب كل إشارة داخل القوس.

و−(س − ٤) معناها الضرب في −١، فتصير −س + ٤.

التوزيع ضرب يتوزّع على جمع. أما الإبدال والتجميع فلا يغيّران العملية أبدًا.

لتختبر صحة عبارة، عوّض أعدادًا بسيطة.

إذا اختلف الطرفان مرة واحدة فالعبارة خاطئة، وتساويهما مرة واحدة لا يكفي لإثبات صحتها.

واقرأ التوزيع معكوسًا: ٨س + ١٢ص = ٤(٢س + ٣ص)، وهذا إخراج العامل المشترك.

إذا أُعطيت قيمة مقدار، فابحث عنه داخل المطلوب، ولا تحاول إيجاد كل متغير.

إذا أُعطيت عدة معادلات، أو طُلب متوسط عدة مقادير، فاجمعها كلها ثم اجمع الحدود المتشابهة. كثيرًا ما يختفي المتغير أو يظهر المطلوب مضاعفًا.

المقدار الجبري مثل ٥س − ٣ص + ٤ يتكوّن من أجزاء تفصل بينها إشارات الجمع والطرح، ويسمى كل جزء منها حدًّا. في هذا المقدار ثلاثة حدود: ٥س و−٣ص و٤.

لكل حد جزآن: عدد يسمى المعامل، وجزء حرفي هو المتغير مع أسّه. والإشارة التي قبل الحد جزء منه، فمعامل الحد −٣ص هو −٣ وليس ٣.

إذا كُتب المتغير وحده مثل س فمعامله ١، وإذا كُتب −س فمعامله −١. أما العدد الذي لا متغير معه، مثل ٤، فيسمى حدًّا ثابتًا.

الحدّان المتشابهان لهما الجزء الحرفي نفسه تمامًا، أي المتغيرات نفسها بالأسس نفسها، ولا يختلفان إلا في المعامل. فالحدّان ٣س و−٧س متشابهان، أما ٣س و٣ص فغير متشابهين مع أن معاملهما واحد.

ثلاث تفاحات وتفاحتان تساوي خمس تفاحات، أما ثلاث تفاحات وبرتقالتان فلا تصبح خمسة من شيء واحد. وكذلك ٣س + ٢س = ٥س، أما ٣س + ٢ص فيبقى كما هو.

لتجمع حدودًا متشابهة، اجمع معاملاتها مع إشاراتها واترك الجزء الحرفي دون تغيير. وأسهل طريقة أن تفرز حدود المقدار أولًا في مجموعات، بحيث يكون لكل مجموعة جزء حرفي واحد.

الأس جزء من الجزء الحرفي، فلا يكفي أن يكون الحرف واحدًا. الحدّان س وس² غير متشابهين، لأن س² تعني س × س، وهي كمية مختلفة عن س. أما سص وصس فمتشابهان، لأن ترتيب الضرب لا يغيّر الناتج.

قد يكون المعامل كسرًا، والقاعدة نفسها لا تتغير: اجمع المعاملات. لكن جمع الكسور يحتاج إلى توحيد المقامات أولًا، لا إلى جمع المقامات. يوضّح الشريط الآتي السبب.

ستجد هذه المهارة داخل أسئلة أكبر، مثل المتوسط الحسابي أو مجموع عدة مقادير. اجمع المقادير أولًا، ثم افرز الحدود المتشابهة. وكثيرًا ما تُختصر حدود المتغير كلها فيبقى عدد صريح، وهذه علامة على أن السؤال مصمَّم ليُحل دون معرفة قيمة المتغير.

كانت الحدود حتى الآن متجاورة. لكن بعضها يأتي كثيرًا داخل قوس مضروب في عدد، مثل ٣(س + ٤) + ٢س، ولا يجوز جمع ٢س مع ما داخل القوس قبل فكّه. نفكّ القوس بالتوزيع: العدد الذي خارج القوس يضرب كل حد داخله، لا الحد الأول وحده.

لماذا يضرب كل حد؟ تخيّل ٣(س + ٤) مساحة مستطيل عرضه ٣ وطوله س + ٤. الطول مكوّن من قطعتين، فالمستطيل مكوّن من مستطيلين صغيرين، والعرض ٣ مشترك بينهما.

انتبه أكثر حين يكون العامل سالبًا. الإشارة السالبة جزء من العامل، فتدخل مع العدد إلى كل حد، وتنقلب لذلك إشارة كل حد داخل القوس. والقوس المسبوق بإشارة سالبة وحدها، مثل −(س − ٤)، معناه ضرب القوس في −١، فيصير −س + ٤.

التوزيع خاصية تربط بين عمليتين، فهو ضرب يتوزّع على جمع: أ(ب + ج) = أب + أج. ولا تخلطه بخاصيتين لا تغيّران العملية أبدًا. الأولى الإبدال، مثل أ + ب = ب + أ. والثانية التجميع، مثل (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) و(أ × ب) × ج = أ × (ب × ج).

إذا طلب السؤال العبارة الخاطئة، فابحث عن عبارة تحوّل الضرب إلى جمع، أو توزّع الضرب على حد واحد فقط. وللتأكد عوّض أعدادًا بسيطة: إذا اختلف الطرفان ولو مرة واحدة فالعبارة خاطئة. أما تساوي الطرفين عند تعويض واحد فلا يثبت صحتها، فجرّب قيمة ثانية.

اقرأ التوزيع الآن بالاتجاه المعاكس. الحدّان في ٨س + ١٢ص يشتركان في العامل ٤، فيمكن كتابتهما ٤(٢س + ٣ص). تسمى هذه الخطوة إخراج العامل المشترك، وهي فكّ القوس معكوسًا.

تظهر فائدة هذه الخطوة في القدرات حين يعطيك السؤال قيمة مقدار كامل ويطلب قيمة مقدار آخر، والمعطى معادلة واحدة فيها متغيران لا يمكن منها إيجاد كل متغير وحده. لا تحاول إيجادهما، بل ابحث عن المقدار المعطى داخل المطلوب.

والفكرة نفسها تنفعك إذا أعطاك السؤال عدة معادلات يتكرر فيها كل متغير: اجمع المعادلات كلها مرة واحدة، ثم اجمع الحدود المتشابهة، فيظهر المطلوب غالبًا مضروبًا في عدد.