التعرف والأطوال

المثلثان المتشابهان لهما الزوايا نفسها.

وكل ضلع في أحدهما يساوي نظيره في الآخر مضروبًا في عدد ثابت ك، اسمه معامل التشابه.

لتثبت التشابه تكفيك زاويتان متساويتان، فالثالثة تتساوى حينئذ لأن مجموع زوايا المثلث ١٨٠°.

تأتيك الزاويتان من زاوية مشتركة، أو من زاويتين متقابلتين بالرأس، أو من زاويتين يعطيهما التوازي.

التناظر تحدّده الزوايا، لا موضع الضلع في الرسم.

الضلع المقابل لزاوية يناظر الضلع المقابل لنظيرتها.

أصغر ضلع يقابل أصغر زاوية، وأكبر ضلع يقابل أكبر زاوية.

في عبارة «أ ب ج يشبه د هـ و» ترتيب الحروف هو التناظر، فالضلع أ ب يناظر د هـ.

ك = ضلع الكبير ÷ نظيره في الصغير.

اضرب في ك لتنتقل من الصغير إلى الكبير، واقسم على ك لتعود.

أو اكتب تناسبًا بالاتجاه نفسه في طرفيه: صغير ÷ كبير = صغير ÷ كبير.

إذا كان مثلث داخل مثلث فخذ ضلع الكبير كاملًا من الرأس إلى الرأس.

الفكرة نفسها في النماذج ومقاييس الرسم والخرائط، فالنسبة المعطاة هي معامل الأطوال.

احسب الطول الحقيقي أولًا، ثم حوّل الوحدة، ثم احسب المساحة من الطول الحقيقي.

المثلثان المتشابهان لهما الشكل نفسه ويختلفان في الحجم فقط، مثل صورة كبّرتها على شاشة الهاتف. الزوايا لا تتغيّر، وكل الأطوال تُضرب في العدد نفسه.

العدد الثابت الذي تُضرب فيه الأطوال يسمّى معامل التشابه. في الرسم: ٦ ÷ ٣ = ٢، و٨ ÷ ٤ = ٢، و١٠ ÷ ٥ = ٢. لو أعطت نسبة ضلع واحد عددًا مختلفًا لما كان المثلثان متشابهين.

لا تخلط التشابه بالتطابق. المثلثان المتطابقان نسختان متماثلتان تمامًا، أي متشابهان بمعامل ١. أما المتشابهان فأطوالهما مختلفة في الغالب، فلا تنقل طول ضلع من أحدهما إلى الآخر كما هو. الذي ينتقل كما هو هو الزوايا فقط.

قبل أن تحسب أي طول يجب أن تتأكد أن المثلثين متشابهان فعلًا. ولست بحاجة إلى الأضلاع لتعرف ذلك.

يكفي أن تساوي زاويتان من المثلث الأول زاويتين من الثاني، لأن الزاوية الثالثة تتساوى حينئذ تلقائيًا، فمجموع زوايا أي مثلث ١٨٠°.

في أسئلة القدرات لا تُكتب الزاويتان المتساويتان صراحة في الغالب. يأتي المثلثان عادة في أحد شكلين مشهورين، وعليك أن تكتشف الزاويتين بنفسك.

الشكل الأول مثلث صغير داخل مثلث كبير، يشتركان في رأس واحد، والضلع الثالث للصغير يوازي ضلع الكبير. الزاوية عند الرأس المشترك واحدة للمثلثين، والتوازي يعطي زاويتين متساويتين عند الضلعين المتوازيين. ومثله مثلثان قائمان يشتركان في زاوية حادة، لأن القائمتين متساويتان.

الشكل الثاني قطعتان مستقيمتان تتقاطعان فتصنعان مثلثين متقابلين يشبهان جناحي فراشة، وضلعاهما البعيدان متوازيان. زاويتا التقاطع متقابلتان بالرأس فهما متساويتان، والتوازي يعطي زاويتين متبادلتين متساويتين.

بعد أن تعرف أن المثلثين متشابهان يأتي السؤال الأهم: أي ضلع في الأول يقابل أي ضلع في الثاني؟ هذا ما يسمّى التناظر، ومنه تُبنى كل نسبة.

التناظر تحدّده الزوايا لا مكان الضلع في الرسم. كثيرًا ما يُرسم أحد المثلثين مقلوبًا أو مدوّرًا، فلا تقارن الضلع السفلي في الأول بالضلع السفلي في الثاني لمجرد أنهما في الأسفل.

الضلع المقابل لزاوية يناظر الضلع المقابل للزاوية التي تساويها في المثلث الآخر، والضلع الواقع بين زاويتين يناظر الضلع الواقع بين نظيرتيهما. وطريقة سريعة: أصغر ضلع يقابل أصغر زاوية، وأكبر ضلع يقابل أكبر زاوية، في المثلثين كليهما.

إذا كُتب التشابه بالحروف فترتيب الحروف هو التناظر. عبارة «المثلث أ ب ج يشبه المثلث د هـ و» تعني أن أ تناظر د، وب تناظر هـ، وج تناظر و، وأن الضلع أ ب يناظر د هـ، وب ج يناظر هـ و، وأ ج يناظر د و.

حين يتضح التناظر يصبح حساب أي طول مجهول خطوة واحدة.

احسب معامل التشابه من ضلعين متناظرين معلومين: ك = الضلع في الكبير ÷ نظيره في الصغير. اضرب أي ضلع من الصغير في ك لتحصل على نظيره في الكبير، واقسم أي ضلع من الكبير على ك لتعود إلى نظيره في الصغير.

إذا كان المعامل كسرًا غير مريح فاكتب تناسبًا بدلًا منه، واكتب النسبتين بالاتجاه نفسه: الصغير على الكبير يساوي الصغير على الكبير.

أكثر فخ يتكرّر في الاختبار يأتي من الشكل الأول، المثلث داخل المثلث. ضلع المثلث الكبير هو الضلع كاملًا من الرأس إلى الرأس، وليس الجزء الزائد على ضلع الصغير.

الفكرة نفسها تعمل خارج المثلثات. كل نموذج أو مقياس رسم أو خريطة تشابه، والنسبة المعطاة في السؤال هي معامل التشابه بين الأطوال.

في هذه الأسئلة رتّب خطواتك هكذا: احسب الطول الحقيقي بالمعامل، ثم حوّل الوحدة، ثم احسب المساحة إن طُلبت. لا تضرب المساحة في معامل الأطوال، بل احسبها من الطول الحقيقي.