التكافؤ والتحويل والمقارنة

للقيمة الواحدة صور كثيرة.

للحصول على كسر مكافئ اضرب البسط والمقام في العدد نفسه، على ألا يكون صفرًا.

ولاختصار الكسر اقسمهما على عامل مشترك حتى لا يبقى بينهما عامل غير ١.

الجمع لا يحفظ القيمة: إضافة ١ إلى بسط ١/٢ ومقامه تعطي ٢/٣، وهي قيمة مختلفة.

علامة ٪ تعني «من مئة»: ٣٥٪ = ٣٥/١٠٠ = ٠٫٣٥.

إذا كانت نسبة الجزء إلى الكل ٣ : ٥ فالجزء يساوي ٣/٥ من الكل.

للمقارنة حوّل القيمتين إلى صورة واحدة ثم قارن.

اجعل المقامين موجبين أولًا بنقل إشارة المقام السالب إلى البسط، فهذا شرط الضرب التبادلي أيضًا.

إذا تساوى المقامان الموجبان فالبسط الأكبر يعني الكسر الأكبر.

إذا تساوى البسطان وكانا موجبين فالمقام الأكبر يعني القيمة الأصغر.

وإن كان البسطان سالبين فالمقام الأكبر يعني القيمة الأكبر، وإن كانا صفرًا تساوى الكسران.

في غير ذلك وحّد المقامين، أو استعمل الضرب التبادلي.

عند مقارنة عددين عشريين ساوِ منازلهما بأصفار على اليمين: ٠٫٤٠ أكبر من ٠٫٣٩.

عند مقارنة عشري بكسر حوّل أحدهما إلى صورة الآخر، وقارن بدقة، فالقريب ليس مساويًا.

انتبه إلى عدد جزؤه الكسري أكبر من ١، مثل $\mathrm{٣}\frac{\mathrm{١٧٠}}{\mathrm{١٠٠}}$: هذه ليست صورة سليمة للعدد الكسري.

١٧٠/١٠٠ = ١٫٧، فقيمته ٣ + ١٫٧ = ٤٫٧، أي أكثر من ٤، فلا تحكم عليه من العدد ٣.

في سؤال «أي القيم تقع بين حدّين؟» افحص كل خيار مع الحدّين كليهما.

واستبعد الخيارات سريعًا بمعالم مثل ١ و١/٢.

خذ شريطًا، واقسمه نصفين، وظلّل نصفًا واحدًا. لو قسمت الشريط نفسه أربعة أجزاء لصار المظلّل جزأين، ولو قسمته ستة أجزاء لصار ثلاثة أجزاء. الكمية المظلّلة لم تتغير؛ الذي تغيّر هو عدد القطع وحجم كل قطعة.

لهذا نسمّي ١/٢ و٢/٤ و٣/٦ كسورًا متكافئة، أي صورًا مختلفة لقيمة واحدة. وتنتقل من صورة إلى أخرى بضرب البسط والمقام في العدد نفسه: ١/٢ = (١ × ٣)/(٢ × ٣) = ٣/٦.

ولا بد أن يكون العدد نفسه في البسط والمقام، لأن ضربهما في ٣ هو ضرب الكسر كله في ٣/٣، و٣/٣ يساوي ١، والضرب في ١ لا يغيّر القيمة. ولا يجوز الضرب في الصفر، لأنه يجعل المقام صفرًا.

الاختصار هو الخطوة نفسها في الاتجاه المعاكس: تقسم البسط والمقام على عامل مشترك بينهما. ويكون الكسر في أبسط صورة حين لا يبقى بين بسطه ومقامه عامل مشترك غير ١.

انتبه إلى أن الجمع لا يحفظ القيمة كما يحفظها الضرب. إذا أضفت ١ إلى بسط ١/٢ ومقامه حصلت على ٢/٣، وهذه قيمة مختلفة. الضرب والقسمة وحدهما يعطيانك كسرًا مكافئًا.

أهم المقامات في القدرات هي ١٠ و١٠٠ و١٠٠٠. الكسر الذي مقامه أحدها يُقرأ عددًا عشريًا مباشرة، والكسر الذي مقامه ١٠٠ هو النسبة المئوية نفسها. لذلك يبدأ التحويل من فكرة الكسر المكافئ التي تعلّمتها للتو.

علامة ٪ تعني «من مئة». فالنسبة ٣٥٪ هي ٣٥ جزءًا من ١٠٠ جزء، أي ٣٥/١٠٠، وتُكتب عشريًا ٠٫٣٥. هذه ثلاث صور لكمية واحدة.

لتحويل الكسر إلى عدد عشري اجعل مقامه ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠ إن استطعت، وإلا فاقسم البسط على المقام. ولتحويل العدد العشري إلى كسر اقرأ منازله: ٠٫٦٤ تعني ٦٤ جزءًا من مئة، أي ٦٤/١٠٠، ثم اختصر فتحصل على ١٦/٢٥.

وبين العدد العشري والنسبة المئوية خطوة واحدة. للحصول على النسبة المئوية اضرب في ١٠٠، أي انقل الفاصلة منزلتين إلى اليمين، فيصبح ٠٫٣٥ هو ٣٥٪. وللعودة إلى العدد العشري اقسم على ١٠٠، أي انقل الفاصلة منزلتين إلى اليسار.

قد يأتيك الكسر في صورة نسبة. إذا كانت نسبة جزء إلى الكل ٣ : ٥ فالجزء يساوي ٣/٥ من الكل، وتحوّله إلى نسبة مئوية كما تحوّل أي كسر.

وتنتبه أسئلة القدرات كثيرًا إلى فخ واحد: كسر تتبعه علامة ٪، مثل ٢/٥٪. العلامة هنا تجعل الكسر نفسه «من مئة»، أي ٢/٥ ÷ ١٠٠. فحوّل الكسر إلى عدد عشري أولًا، ثم اقسم على ١٠٠.

بعد أن عرفت أن القيمة الواحدة تُكتب بصور كثيرة، تصبح القاعدة في المقارنة واضحة: لا تقارن صورتين مختلفتين، بل حوّل القيمتين إلى صورة واحدة ثم قارن.

أبسط حالة أن يتساوى المقامان. القطع حينئذ بالحجم نفسه، فالكسر ذو البسط الأكبر هو الأكبر: ٧/٩ أكبر من ٤/٩.

والحالة المقابلة أن يتساوى البسطان. عدد القطع حينئذ واحد، لكن المقام الأكبر يعني قطعًا أصغر، فالكسر ذو المقام الأكبر هو الأصغر: ٣/٨ أصغر من ٣/٥.

أما إذا اختلف البسطان والمقامان معًا، فوحّد المقامين بكسور مكافئة كما فعلت في أول الدرس.

وهناك طريق أسرع لا يحتاج إلى البحث عن مقام مشترك، هو الضرب التبادلي. اضرب بسط كل كسر في مقام الكسر الآخر، ثم قارن الناتجين. الناتج الأكبر يخصّ الكسر الذي أخذت منه البسط.

وهذا الطريق توحيد للمقامين في حقيقته. حين تضرب كل كسر في مقام الآخر يصبح المقام المشترك حاصل ضرب المقامين، ويبقى أن تقارن البسطين الجديدين، وهما ناتجا الضرب التبادلي نفسهما.

يشترط الضرب التبادلي أن يكون المقامان موجبين. فإذا وجدت كسرًا مقامه سالب فانقل الإشارة إلى البسط أولًا؛ الكسر ٣ على −٤ هو −٣/٤. وتذكّر أن أي عدد سالب أصغر من أي عدد موجب.

وإذا جاءتك القيمتان بصورتين مختلفتين، كعدد عشري وكسر، فحوّل إحداهما إلى صورة الأخرى. اختر الصورة التي يقصر فيها الحساب.

وإذا قارنت عددين عشريين فساوِ عدد المنازل بعد الفاصلة بإضافة أصفار على اليمين، ثم قارنهما كما تقارن عددين صحيحين: ٠٫٤ = ٠٫٤٠، وهي أكبر من ٠٫٣٩ لأن ٤٠ أكبر من ٣٩.

واحذر العدد الكسري الذي يكون جزؤه الكسري أكبر من ١، مثل $\mathrm{٣}\frac{\mathrm{١٧٠}}{\mathrm{١٠٠}}$. لا تحكم عليه من جزئه الصحيح وحده، بل اكتبه عشريًا: ١٧٠/١٠٠ = ١٫٧، فالعدد كله ٣ + ١٫٧ = ٤٫٧.

ومن الأسئلة الشائعة أيضًا: أي القيم تقع بين حدّين؟ القيمة المطلوبة يجب أن تكون أكبر من الحد الأصغر وأصغر من الحد الأكبر في وقت واحد، فافحص كل خيار مع الحدّين كليهما. وقبل أن تحسب، استعمل معالم سهلة للاستبعاد السريع: هل الكسر أكبر من ١؟ هل هو أصغر من ١/٢؟