المسافة والمنتصف والميل

بين أي نقطتين احسب أولًا فرق السينات وفرق الصادات.

هذان الفرقان ضلعا مثلث قائم، والقطعة بين النقطتين وتره.

المسافة: ربّع كل فرق، ثم اجمع، ثم خذ الجذر.

المنتصف: متوسط السينين ومتوسط الصادين، أي اجمع ثم اقسم على ٢.

الطرف المفقود = ٢ × المنتصف − الطرف المعلوم.

الميل = فرق الصادات ÷ فرق السينات، بترتيب الطرح نفسه في البسط والمقام.

اختصارات المسافة:

احفظ الثلاثيات: ٣، ٤، ٥ ومضاعفاتها، و٥، ١٢، ١٣، و٨، ١٥، ١٧.

إذا تساوى الفرقان وكلاهما ف، فالمسافة ف√٢.

إذا اشتركت النقطتان في إحداثي، فالمسافة هي الفرق الآخر.

في مسائل الحركة خذ الإزاحة الصافية في كل اتجاه ثم الوتر، لا مجموع الخطوات.

تقاطع قطري المستطيل هو مركزه، ومركز الدائرة منتصف قطرها، ويبعد المركز عن الطرف نصف القطر.

الميل الموجب يصعد نحو اليمين، والسالب يهبط.

المستقيم الأفقي ميله ٠، والرأسي ميله غير معرّف.

في ص = م س + ب يكون م الميل، وب المقطع الصادي.

إن كان أمام ص عدد أو كان حدّ س في طرفها، فاعزل ص أولًا.

خذ أي نقطتين في المستوى الإحداثي، ولتكن ك(−٢، ١) و ل(٤، ٩). لتنتقل من ك إلى ل تستطيع أن تتحرك أفقيًا أولًا ثم رأسيًا. هاتان الحركتان مع القطعة ك ل تصنع مثلثًا قائمًا، وعلى هذا المثلث يُبنى الدرس كله.

طول الضلع الأفقي هو فرق السينات: ٤ − (−٢) = ٦. وطول الضلع الرأسي هو فرق الصادات: ٩ − ١ = ٨. انتبه عند طرح عدد سالب، فطرح −٢ يعني إضافة ٢.

من هذين الفرقين تستخرج كل شيء في هذا الدرس: المسافة هي طول الوتر، والمنتصف يقع عند نصف كل ضلع، والميل هو نسبة الضلع الرأسي إلى الضلع الأفقي. نبدأ بالمسافة.

القطعة ك ل وتر مثلث قائم، فبنظرية فيثاغورس: المسافة² = (فرق السينات)² + (فرق الصادات)². هنا المسافة² = ٦² + ٨² = ٣٦ + ٦٤ = ١٠٠، فالمسافة = √١٠٠ = ١٠. الخطوات دائمًا ثلاث: ربّع كل فرق، ثم اجمع، ثم خذ الجذر.

لا يهمّ بأي النقطتين تبدأ، ولا يقلقك أن يخرج أحد الفرقين سالبًا، فالتربيع يجعله موجبًا.

أسئلة القدرات تختار الأرقام غالبًا لتكوّن ثلاثية فيثاغورية مشهورة. احفظ هذه الثلاثيات: ٣، ٤، ٥ ومضاعفاتها مثل ٦، ٨، ١٠ و٩، ١٢، ١٥، ثم ٥، ١٢، ١٣، ثم ٨، ١٥، ١٧. إذا رأيت فرقين منها فاكتب الوتر مباشرة دون حساب.

وهناك حالتان خاصتان. الأولى أن يتساوى الفرقان، وكلاهما ف، فتكون المسافة ف√٢، لأن القطعة قطر مربع ضلعه ف. والثانية أن تشترك النقطتان في أحد الإحداثيين، فتكون القطعة أفقية أو رأسية، والمسافة هي الفرق الآخر وحده.

الفكرة نفسها تحل مسائل الحركة. إذا تحرك شخص شرقًا وغربًا وشمالًا وجنوبًا فلا يهمّك مجموع خطواته، بل إزاحته الصافية في كل اتجاه. الإزاحة الأفقية الصافية والإزاحة الرأسية الصافية ضلعا مثلث قائم، وأقصر طريق للعودة هو وتره.

ننتقل من طول القطعة إلى نقطتها الوسطى. المنتصف يقسم القطعة نصفين متساويين، فهو يقطع نصف المسافة الأفقية ونصف المسافة الرأسية. لذلك إحداثيه السيني هو متوسط السينين، وإحداثيه الصادي هو متوسط الصادين: المنتصف = ((السيني الأول + السيني الثاني) ÷ ٢، (الصادي الأول + الصادي الثاني) ÷ ٢).

لاحظ الفرق بين الحسابين: في المسافة تطرح الإحداثيات، وفي المنتصف تجمعها ثم تقسم على ٢.

قد يعطيك السؤال المنتصف وطرفًا واحدًا ويطلب الطرف الآخر. الرسم السابق يدلّك على الطريقة: القفزة من الطرف المعلوم إلى المنتصف تتكرر هي نفسها من المنتصف إلى الطرف المجهول. وبالحساب: الطرف المجهول = ٢ × المنتصف − الطرف المعلوم، لكل إحداثي على حدة.

ويختبئ المنتصف أيضًا في الأشكال الهندسية. نقطة تقاطع قطري المستطيل (والمربع ومتوازي الأضلاع) هي منتصف كل قطر، أي مركز الشكل. ومركز الدائرة هو منتصف أي قطر فيها. فالمركز ليس رأسًا من رؤوس الشكل، بل يبعد عن كل رأس نصف قطر.

بقي أن نصف ميلان القطعة. الميل يقيس كم يرتفع المستقيم مقابل كل خطوة أفقية: الميل = فرق الصادات ÷ فرق السينات، أي الضلع الرأسي فوق والضلع الأفقي تحت. للقطعة ك ل: الميل = ٨ ÷ ٦ = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$، ومعناه أنك كلما تقدمت ٣ يمينًا صعد المستقيم ٤.

المهم أن تطرح بالترتيب نفسه في البسط والمقام. إن بدأت بالنقطة ل في فرق الصادات فابدأ بها في فرق السينات أيضًا. عندها لا يهمّ أي النقطتين تختار أولًا، أما خلط الترتيب فيقلب إشارة الميل.

إشارة الميل تخبرك باتجاه المستقيم وأنت تقرؤه من اليسار إلى اليمين: الميل الموجب يعني أنه يصعد، والسالب يعني أنه يهبط. المستقيم الأفقي فرق صاداته صفر، فميله ٠. أما المستقيم الرأسي فرق سيناته صفر، والقسمة على صفر غير ممكنة، فميله غير معرّف، وليس صفرًا.

كثيرًا ما يأتيك المستقيم معادلةً لا نقطتين. إذا كُتبت على الصورة ص = م س + ب فمعامل س، وهو م، هو الميل، والعدد الثابت ب هو المقطع الصادي، أي موضع قطع المستقيم لمحور الصادات. السبب أن س = ٠ على محور الصادات، فيبقى ص = ب.

والعكس سهل: إذا أُعطيت الميل والمقطع الصادي فاكتب المعادلة مباشرة. المستقيم الذي ميله −٣ ومقطعه الصادي ٧ معادلته ص = −٣س + ٧.

لكن احذر: معامل س لا يكون هو الميل إلا حين تكون ص وحدها في طرف ومعاملها ١. إن كان أمام ص عدد فاقسم المعادلة كلها عليه، وإن كان حدّ س في طرف ص فانقله إلى الطرف الآخر أولًا.