التناظر والتحويلات المستوية

الانسحاب والانعكاس والدوران تحرّك الشكل، ولا تغيّر أطواله ولا زواياه ولا مساحته. فالصورة مطابقة للأصل.

الانسحاب: الحركة يمينًا تضيف إلى س، والحركة لأعلى تضيف إلى ص.

الانعكاس حول المحور الرأسي: (−س، ص).

الانعكاس حول المحور الأفقي: (س، −ص).

الانعكاس حول المستقيم ص = س: (ص، س).

حول أي مستقيم آخر: انقل بُعد النقطة عنه إلى الجهة الأخرى.

الدوران حول الأصل ١٨٠°: (−س، −ص).

الدوران ٩٠° عكس عقارب الساعة: (−ص، س)، ومعها: (ص، −س).

الانعكاس يقلب الشكل كالمرآة، والدوران يديره دون قلب.

الشكل متناظر إذا أعاده انعكاس أو دوران إلى نفسه.

اختبر محور التناظر بالطي: إن انطبق النصفان فهو محور.

قطر المستطيل يقسمه نصفين، لكنه ليس محورًا.

المضلع المنتظم الذي له ن ضلعًا له ن محورًا، ويعود إلى نفسه بدوران ٣٦٠° ÷ ن.

الدائرة لها عدد لا نهائي من المحاور.

في الشكل المتناظر كل زاوية تساوي صورتها، وكل طول يساوي صورته.

مجموع الزوايا على المستقيم ١٨٠°.

يكون المظلل نصف الشكل إذا وُجد انعكاس أو دوران ينقل المظلل كله إلى غير المظلل كله، والعكس، ولو اختلفت أحجام القطع.

إن بقي جزء بلا مقابل فالمظلل ليس نصفًا.

التحويل هو أن تنقل كل نقطة في الشكل إلى موضع جديد، فينتج شكل جديد اسمه «الصورة». في هذا الدرس ثلاثة تحويلات تحرّك الشكل دون أن تمطّه أو تضغطه: الانسحاب والانعكاس والدوران. نبدأ بأبسطها.

الانسحاب انزلاق: تتحرك كل نقطة المسافة نفسها في الاتجاه نفسه، كما تدفع كتابًا على الطاولة دون أن تديره. لذلك تطابق الصورة الأصل حتى في اتجاهها، ولا يتغير فيها إلا الموضع.

في المستوى الإحداثي يزداد س نحو اليمين ويزداد ص نحو الأعلى. الحركة يمينًا تضيف إلى س والحركة يسارًا تطرح منها، والحركة لأعلى تضيف إلى ص والحركة لأسفل تطرح منها. ولا يتأثر أحد الإحداثيين بحركة الآخر.

الانسحاب لا يقلب الشكل أبدًا. فإذا وضعت مرآة على مستقيم ونظرت إلى صورة الشكل فيها، فهذا تحويل آخر اسمه الانعكاس، والمستقيم اسمه محور الانعكاس.

في الانعكاس تذهب كل نقطة إلى الجهة الأخرى من المحور وعلى البعد نفسه منه، والخط الواصل بين النقطة وصورتها عمودي على المحور. أما النقاط الواقعة على المحور نفسه فلا تتحرك.

من هنا تأتي قاعدة الإحداثيات: الإحداثي الذي يقيس البعد عن المحور هو وحده الذي تنقلب إشارته. الانعكاس حول المحور الرأسي (محور ص) يقلب إشارة س فقط، فتصبح (س، ص) هي (−س، ص). والانعكاس حول المحور الأفقي (محور س) يقلب إشارة ص فقط، فتصبح (س، ص) هي (س، −ص).

وإذا كان المحور مستقيمًا آخر فلا تحتاج إلى قاعدة جديدة: احسب بعد النقطة عن المحور وانقله إلى الجهة الأخرى. ومن الحالات المشهورة الانعكاس حول المستقيم ص = س، وفيه يتبادل الإحداثيان فتصبح (س، ص) هي (ص، س).

التحويل الثالث هو الدوران: تثبّت نقطة اسمها المركز، وتدير الشكل حولها بزاوية معيّنة، كما يدور عقرب الساعة حول محوره. تبقى كل نقطة على بعدها نفسه من المركز، ويتغير اتجاهها منه فقط.

الانعكاس والدوران يختلطان على كثير من الطلاب لأن كليهما يغيّر اتجاه الشكل. والفرق أن الانعكاس يقلب الشكل كالمرآة، أما الدوران فيديره دون أن يقلبه. ضع في ذهنك علامة مميزة كالعلم في الرسم التالي، وتابع أين تذهب.

قواعد الدوران حول نقطة الأصل: الدوران ١٨٠° يقلب إشارتي الإحداثيين معًا، فتصبح (س، ص) هي (−س، −ص)، وتقع النقطة وصورتها والمركز على مستقيم واحد والمركز في منتصفه. والدوران ٩٠° عكس عقارب الساعة يجعل (س، ص) هي (−ص، س)، والدوران ٩٠° مع عقارب الساعة يجعلها (ص، −س).

ما يجمع التحويلات الثلاثة أنها تحرّك الشكل ولا تغيّر مقاساته: الأطوال والزوايا والمساحة في الصورة هي نفسها في الأصل، فالصورة مطابقة للأصل. فإذا سُئلت عن طول ضلع أو قياس زاوية في الصورة فابحث عنه في الأصل.

الآن نصل إلى التناظر، وهو مبني على ما سبق مباشرة: يكون الشكل متناظرًا إذا وُجد انعكاس أو دوران يعيده إلى نفسه تمامًا، فتقع صورته على موضعه ولا تستطيع أن تميّزها منه.

محور التناظر مستقيم إذا عكست الشكل حوله انطبق على نفسه. واختباره العملي هو الطي: لو طويت الورقة على هذا المستقيم، هل ينطبق النصفان حافة على حافة؟ إن انطبقا فهو محور، وإلا فليس محورًا.

لا يكفي أن يقسم الخط الشكل إلى نصفين متساويين في المساحة. قطر المستطيل يقسمه إلى مثلثين متساويين، لكن الطي عليه لا يطابق النصفين.

إليك عدد محاور التناظر في الأشكال التي تتكرر في الاختبار. قطرا المربع والمعيّن محوران، أما قطرا المستطيل فليسا كذلك. والدائرة لها عدد لا نهائي من المحاور، لأن كل قطر فيها محور. والمضلع المنتظم الذي له ن ضلعًا له ن محورًا.

النوع الثاني هو التناظر الدوراني: أن يعود الشكل إلى نفسه بدوران حول مركزه بزاوية أقل من ٣٦٠°. المربع يعود إلى نفسه كل ٩٠°، والمثلث المتطابق الأضلاع كل ١٢٠°، والمستطيل ومتوازي الأضلاع كل ١٨٠°. وفي المضلع المنتظم الذي له ن ضلعًا، أصغر زاوية دوران تعيده إلى نفسه هي ٣٦٠° ÷ ن.

لماذا يهمك التناظر في الحل؟ لأن كل جزء في الشكل المتناظر يساوي صورته: الزاوية تساوي صورتها والطول يساوي صورته، فإذا عرفت أحدهما عرفت الآخر دون حساب. وإذا مرّ المحور برأس زاوية وكان كل ضلع من ضلعيها صورة للآخر، قسمها نصفين، كمحور المثلث المتطابق الضلعين الذي ينصّف زاوية الرأس وينصّف القاعدة. أما الزاوية أ م ب في الرسم التالي فرأسها على المحور، لكن ضلعيها ليسا صورة أحدهما للآخر، فالمحور لا ينصّفها.

وكثيرًا ما تأتي الزوايا على المستقيم بصورة جبرية. تذكّر أن مجموعها ١٨٠°، واقرأ السؤال مرة أخرى لتعرف أي زاوية يطلب بالضبط.

أقوى استعمال للتناظر في الاختبار حساب نسبة المساحة المظللة دون أي قياس. الفكرة مبنية على ما عرفته: الانعكاس لا يغيّر المساحة، فإذا نقل منطقة إلى منطقة أخرى فالمنطقتان متساويتان.

فإذا وجدت محور تناظر للشكل كله ينقل المظلل كله إلى غير المظلل كله، وينقل غير المظلل كله إلى المظلل كله، أي يبادل بينهما تبادلًا تامًا لا يبقى معه أي جزء بلا مقابل، فالمظلل يساوي غير المظلل، وكل منهما نصف الشكل.

أما إذا وقع المظلل على جزء من غير المظلل فقط، وبقي من غير المظلل ما لا يقابله شيء، فلا تستنتج النصف. في مربع مقسوم إلى أربعة أرباع ظُلّل ربع واحد منها، ينعكس الربع المظلل على ربع غير مظلل، لكن يبقى ربعان بلا مقابل، فالمظلل ربع المربع لا نصفه.

وقد يكون التحويل الذي يبادل بين المنطقتين دورانًا بدل الانعكاس، والحكم نفسه: إذا نقل الدوران المظلل كله إلى غير المظلل كله تمامًا، فالمظلل نصف الشكل.