المثلث القائم

الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو أطول الأضلاع.

في المثلث القائم فقط: الوتر² = الضلع الأول² + الضلع الثاني².

العلاقة بين المربعات لا بين الأطوال: في المثلث ٣ و٤ و٥ نجد ٩ + ١٦ = ٢٥.

إذا جهلت الوتر: ربّع الضلعين واجمع، ثم خذ الجذر.

إذا جهلت ضلعًا قائمًا: اطرح مربع الضلع المعلوم من مربع الوتر، ثم خذ الجذر.

قد لا يكون المثلث مرسومًا، فابحث عنه.

في أسئلة الحركة ألغِ الاتجاهات المتعاكسة أولًا: الإزاحتان الصافيتان ضلعان قائمان، وأقصر مسافة هي الوتر.

مثلًا: ٩ شرقًا ثم ٣ غربًا تعطي ٦، و٥ شمالًا ثم ٣ شمالًا تعطي ٨، فأقصر مسافة ١٠.

قطر المستطيل وتر، وضلعاه القائمان هما الطول والعرض.

لتختبر مثلثًا: قارن مربع أطول ضلع بمجموع مربعي الضلعين الآخرين.

إذا تساويا فالمثلث قائم.

إذا كان مربع أطول ضلع أكبر فالزاوية المقابلة له منفرجة.

إذا كان أصغر فكل زوايا المثلث حادة.

احفظ الثلاثيات: ٣ و٤ و٥، و٥ و١٢ و١٣، و٨ و١٥ و١٧، و٧ و٢٤ و٢٥.

مضاعفاتها ثلاثيات أيضًا، مثل ٩ و١٢ و١٥.

في المثلث القائم متطابق الضلعين (زاويتاه الأخريان ٤٥°): الوتر = الضلع × √٢، وبهذا تجد قطر المربع أيضًا.

المثلث القائم مثلث إحدى زواياه قائمة، أي قياسها ٩٠°، وتُرسم عادة بمربع صغير عند رأسها. الضلعان اللذان يصنعان هذه الزاوية يسمّيان الضلعين القائمين. والضلع الثالث يقابل الزاوية القائمة ولا يلمسها، ويسمّى الوتر.

الوتر هو دائمًا أطول أضلاع المثلث القائم، لأنه يقابل أكبر زاوية فيه. فإذا سُمّيت رؤوس المثلث بحروف، فابحث أولًا عن رأس الزاوية القائمة. الوتر هو الضلع الذي لا يدخل هذا الحرف في اسمه.

عرفت أن الوتر أطول الأضلاع، فبكم يزيد عليها؟ تجيب نظرية فيثاغورس بدقة. ارسم مربعًا على كل ضلع من أضلاع المثلث القائم، فتجد أن مساحة المربع المرسوم على الوتر تساوي مجموع مساحتي المربعين المرسومين على الضلعين القائمين.

تكتب النظرية هكذا: الوتر² = الضلع الأول² + الضلع الثاني². انتبه إلى أن العلاقة بين المربعات لا بين الأطوال. ففي المثلث ٣ و٤ و٥ لا نجد ٣ + ٤ = ٥، بل نجد ٩ + ١٦ = ٢٥.

لإيجاد الوتر من الضلعين القائمين اتبع ثلاث خطوات: ربّع كل ضلع، ثم اجمع المربعين، ثم خذ الجذر التربيعي للناتج. الخطوة الأخيرة تُنسى كثيرًا، فالمجموع يعطيك مربع الوتر لا الوتر نفسه.

وإذا كان المجهول ضلعًا قائمًا والوتر معلومًا، فالجمع يصير طرحًا: مربع الضلع المجهول = مربع الوتر − مربع الضلع المعلوم. تذكّرها هكذا: إذا جهلت الوتر فاجمع، وإذا جهلت ضلعًا قائمًا فاطرح من مربع الوتر.

لا يلزم أن يكون الناتج عددًا صحيحًا. وتحقّق دائمًا من أن جوابك معقول: الوتر أكبر من كل ضلع قائم، وأصغر من مجموع الضلعين القائمين.

في أسئلة القدرات لا يأتي المثلث القائم مرسومًا دائمًا. كثيرًا ما يختبئ في قصة أو في شكل آخر، وعليك أن تكتشفه. وأشهر موضعين له: الحركة في اتجاهات متعامدة، وقطر المستطيل.

إذا تحرّك شخص نحو الشمال والجنوب والشرق والغرب، فالشمال والجنوب متعاكسان يلغي أحدهما الآخر، وكذلك الشرق والغرب. احسب الإزاحة الصافية في كل اتجاه فتحصل على ضلعين قائمين، وتكون أقصر مسافة بين البداية والنهاية هي الوتر.

أما قطر المستطيل فيقسمه إلى مثلثين قائمين، ضلعاهما القائمان هما الطول والعرض، والقطر وترهما. فإذا أُعطيت علاقة بين الطول والعرض، فسمِّ الأصغر س، واكتب الآخر بدلالته، ثم طبّق فيثاغورس.

كنا حتى الآن نعرف أن المثلث قائم ونبحث عن ضلع. والنظرية تعمل في الاتجاه المعاكس أيضًا: إذا أُعطيت أطوال الأضلاع الثلاثة، استطعت أن تحكم هل المثلث قائم أم لا.

الطريقة: حدّد أطول ضلع، فهو الوحيد الذي يمكن أن يكون وترًا. ثم قارن مربعه بمجموع مربعي الضلعين الآخرين. إذا تساويا فالمثلث قائم، والزاوية القائمة هي المقابلة لأطول ضلع، وهي أكبر زوايا المثلث.

وإذا لم يتساويا فالمثلث ليس قائمًا. فإن كان مربع أطول ضلع أكبر من مجموع المربعين، فالزاوية المقابلة له منفرجة. وإن كان أصغر، فكل زوايا المثلث حادة.

ولتوفّر الوقت، احفظ الثلاثيات الفيثاغورية، وهي أعداد صحيحة تصلح أضلاعًا لمثلث قائم. أشهرها: ٣ و٤ و٥، و٥ و١٢ و١٣، و٨ و١٥ و١٧، و٧ و٢٤ و٢٥. ومضاعف أي ثلاثية ثلاثية أيضًا، لأن ضرب الأضلاع كلها في العدد نفسه يكبّر المثلث دون أن يغيّر شكله.

بقيت حالة خاصة تتكرر كثيرًا، هي المثلث القائم متطابق الضلعين، أي الذي ضلعاه القائمان متساويان. زاويتاه الأخريان متساويتان أيضًا، وقياس كل منهما ٤٥°.

إذا كان طول كل ضلع قائم ل، فإن مربع الوتر = ل² + ل² = ٢ل²، فالوتر = ل√٢. أي أنك تضرب الضلع في √٢ لتحصل على الوتر، وتقسم الوتر على √٢ لتحصل على الضلع. والعلاقة نفسها تعطيك قطر المربع الذي طول ضلعه ل.