المتباينات والقيود

المتباينة تصف مجالًا من القيم، لا قيمة واحدة.

الحدّ داخل مع ≤ و ≥، ومستبعد مع < و >.

حين تأتي المتباينة كلامًا، ترجم كل عبارة إلى علامة، واسأل: هل الحدّ نفسه مقبول؟

حلّ المتباينة كما تحلّ المعادلة.

الجمع والطرح لا يغيّران العلامة، وكذلك الضرب أو القسمة في عدد موجب.

الضرب أو القسمة في عدد سالب يقلب العلامة.

لا تضرب الطرفين في متغير مجهول الإشارة، ولا تقسمهما عليه.

إذا طُلب عدد صحيح فالحدّ حاسم: في س ≤ ٨ أكبر عدد صحيح هو ٨، وفي س < ٨ هو ٧.

إذا خرج الحدّ كسرًا فلا تقرّبه تقريبًا عاديًا: ن ≤ ٧٫٥ تعطي ٧ لا ٨.

إذا كان في السؤال شرطان، فحلّ كلًّا منهما وحده، ثم خذ القيم المشتركة.

في المقارنة تحت قيد مثل أ > ب، طبّق القواعد نفسها: إضافة عدد إلى الطرفين تحفظ الترتيب، والضرب في سالب يقلبه.

أما التربيع والمقلوب فقد يقلبان الترتيب إن جهلت الإشارة.

عندها جرّب قيمًا تحقّق القيد: موجبة، وسالبة، وصفرًا، وكسرًا قريبًا من الحدّ.

لا تفترض أن المتغير عدد صحيح ما لم ينصّ السؤال على ذلك.

إن اختلفت النتائج فالمعطيات غير كافية.

في المعادلة تبحث عن قيمة واحدة. أما المتباينة فتصف مجموعة كاملة من القيم. قولنا س > ٢ يعني أن س قد تكون ٣ أو ٢٫٥ أو ١٠٠، أي أي عدد يقع يمين ٢ على خط الأعداد، لكنها لا تساوي ٢ نفسها.

للمتباينة أربع علامات: < أصغر من، و > أكبر من، و ≤ أصغر من أو يساوي، و ≥ أكبر من أو يساوي. الفرق بين العلامتين (< و >) والعلامتين اللتين تحتهما شرطة المساواة (≤ و ≥) يجيب عن سؤال واحد: هل الحدّ نفسه داخل في المجال أم لا؟

قبل أن تحلّ أي متباينة، قد تحتاج أولًا إلى كتابتها بنفسك من كلام السؤال.

كثير من أسئلة القدرات تأتي بالكلام لا بالرموز: عمر لا يقل عن كذا، وميزانية لا تتجاوز كذا، وعدد أقل من كذا. مهمتك أن تترجم كل عبارة إلى علامة، وأهم ما في الترجمة أن تحدّد هل الحدّ داخل أم لا.

انتبه إلى العبارتين المتعاكستين: «لا يقل عن ١٨» تعني ١٨ فأكثر، أي ≥ ١٨. و«لا يزيد على ١٨» تعني ١٨ فأقل، أي ≤ ١٨. اسأل نفسك دائمًا: هل ١٨ نفسها مقبولة؟ إن كانت مقبولة فالعلامة فيها شرطة المساواة.

كتبت المتباينة، فكيف تجد القيم التي تحقّقها؟

تحلّ المتباينة كما تحلّ المعادلة: تجري العملية نفسها على الطرفين حتى تبقى س وحدها. جمع عدد إلى الطرفين أو طرحه منهما لا يغيّر اتجاه العلامة، وكذلك الضرب أو القسمة في عدد موجب.

الاستثناء الوحيد: إذا ضربت الطرفين في عدد سالب أو قسمتهما عليه فاقلب العلامة، فتصبح < علامة >، وتصبح ≤ علامة ≥. سبب ذلك يظهر على خط الأعداد.

خذ ٢ < ٥، واضرب الطرفين في −١ فتحصل على −٢ و −٥. كان ٥ على اليمين، لكن −٥ صار على اليسار. فالصحيح بعد الضرب هو −٢ > −٥.

لهذا السبب لا تضرب الطرفين في متغيّر لا تعرف إشارته، ولا تقسمهما عليه. إن كان موجبًا بقيت العلامة، وإن كان سالبًا انقلبت، وأنت لا تعرف أي الحالتين. افعل ذلك فقط إذا نصّ السؤال على أن المتغير موجب أو سالب.

بعد أن تصل إلى نتيجة مثل س ≤ ٨، يبقى ما تسألك عنه الخيارات عادةً: أي القيم مقبولة فعلًا؟

كثير من الأسئلة يشترط أن تكون س عددًا صحيحًا أو موجبًا، أو يطلب أكبر قيمة أو أصغرها. هنا يصبح الحدّ حاسمًا: في س ≤ ٨ أكبر عدد صحيح هو ٨ نفسه، أما في س < ٨ فأكبر عدد صحيح هو ٧.

وإذا خرج الحدّ كسرًا فخذ العدد الصحيح الذي قبله أو بعده حسب اتجاه العلامة، ولا تقرّبه تقريبًا عاديًا.

وقد يعطيك السؤال شرطين معًا، فتكون القيم المقبولة هي التي تحقّق الشرطين كليهما. حلّ كل شرط وحده، ثم خذ الجزء المشترك بينهما.

لاحظ أن شرط المربع اعتمد على أن س موجبة. لولا ذلك لحقّقت −٧ أيضًا الشرط س² < ٦٠، لأن مربعها ٤٩. الإشارة تغيّر النتيجة عند التربيع، وهذا محور النوع الأخير من الأسئلة: مقارنة كميتين تحت قيد.

في أسئلة المقارنة يعطيك السؤال قيدًا مثل أ > ب، ويطلب مقارنة كميتين. لا تحتاج إلى قيمتي أ و ب، بل إلى جواب سؤال واحد: هل يفرض القيد علاقة واحدة بين الكميتين في كل الحالات؟

الطريقة الأولى أن تطبّق قواعد الحل نفسها. إذا أجريت على طرفي القيد عملية تحفظ الترتيب، وهي الجمع والطرح والضرب في موجب، عرفت الجواب مباشرة. وإذا ضربت في سالب انقلب الترتيب.

الطريقة الثانية تلزمك حين لا تكفي القواعد. بعض العمليات لا تحفظ الترتيب إذا جهلت الإشارة، وأهمها التربيع والمقلوب. فإذا كان أ < ب فليس لازمًا أن يكون أ² < ب².

في هذه الحالات جرّب قيمًا تحقّق القيد، واجعلها من أنواع مختلفة: موجبة، وسالبة، وصفرًا، وكسرًا، وقيمة قريبة جدًا من الحدّ. إذا أعطتك قيمتان نتيجتين مختلفتين فالجواب: المعطيات غير كافية. ولا تفترض أن المتغير عدد صحيح ما لم ينصّ السؤال على ذلك.

أخطر فخ في هذه الأسئلة هو القيمة القريبة من الحدّ: قد تعطيك الأعداد الصحيحة نتيجة ثابتة، ثم يأتي كسر صغير فيقلبها.