الخصائص والشبكات

الوجه سطح مستوٍ، والحافة خط يلتقي عنده وجهان، والرأس نقطة تلتقي عندها ثلاث حواف أو أكثر.

عُدّ كل نوع وحده، وبترتيب ثابت.

للمنشور قاعدتان متطابقتان، وأوجهه الجانبية مستطيلات.

للهرم قاعدة واحدة، وأوجهه الجانبية مثلثات تلتقي في رأس واحد.

إذا كان للقاعدة ن أضلاع:

المنشور: ن + ٢ أوجه، و٣ن حواف، و٢ن رؤوس.

الهرم: ن + ١ أوجه، و٢ن حواف، و ن + ١ رؤوس.

للتحقق في المجسم ذي الأوجه المستوية: الأوجه + الرؤوس − الحواف = ٢.

الأسطوانة: قاعدتان دائريتان وسطح جانبي منحنٍ، ولا رؤوس لها.

المخروط: قاعدة دائرية واحدة ورأس واحد.

الكرة: لا قاعدة لها ولا حافة ولا رأس.

الشبكة هي أوجه المجسم مفرودة، ويظهر فيها كل وجه مرة واحدة.

في شبكة المكعب يتقابل المربعان اللذان بينهما مربع واحد في خط مستقيم.

أما المربعان المتجاوران فلا يتقابلان أبدًا.

لتحكم على شبكة، اطوِها في ذهنك. إن تراكب وجهان وبقي مكان مفتوح فليست شبكة.

وارفضها فورًا إن وجدت فيها خمسة مربعات في صف واحد، أو مربعًا كبيرًا ٢ × ٢.

عند عدّ الحواف من الشبكة: كل خط طيّ داخلي حافة، وكل خطين من المحيط حافة واحدة.

تعرف المجسم من أوجه شبكته:

متوازي المستطيلات: ثلاثة أزواج من المستطيلات المتطابقة.

المنشور الثلاثي: مثلثان و٣ مستطيلات.

الهرم الرباعي: مربع و٤ مثلثات.

الأسطوانة: دائرتان ومستطيل طوله يساوي محيط القاعدة.

المخروط: دائرة وقطاع دائري.

لحساب الحجم من شبكة عليها أطوال، استخرج الطول والعرض والارتفاع، كل بُعد مرة واحدة، ثم اضربها.

المجسم شكل له طول وعرض وارتفاع، مثل علبة أو كرة أو هرم. لكي تصفه وتميّزه عن غيره تعتمد على ثلاثة عناصر فيه: الوجه، والحافة، والرأس.

الوجه سطح مستوٍ من سطوح المجسم. الحافة هي الخط الذي يلتقي عنده وجهان. الرأس هو النقطة التي تلتقي عندها ثلاث حواف أو أكثر. هذه عناصر مختلفة، فلا تعدّ حافة على أنها وجه.

عُدّ بترتيب ثابت حتى لا تنسى عنصرًا أو تكرّره. في المكعب مثلًا: حواف الأعلى ٤، وحواف الأسفل ٤، والحواف القائمة التي تصل بينها ٤، فالمجموع ١٢. والرؤوس ٤ في الأعلى و٤ في الأسفل، فالمجموع ٨.

العدّ من الرسم يصعب إذا كثرت الأضلاع. لحسن الحظ، المنشور والهرم يُعرفان من قاعدتهما، فتحسب عناصرهما من عدد أضلاع القاعدة دون رسم.

المنشور له قاعدتان متطابقتان ومتوازيتان، وأوجهه الجانبية مستطيلات، ويُسمّى باسم قاعدته (ثلاثي، رباعي، خماسي...). إذا كان لقاعدته ن أضلاع فعدد أوجهه ن + ٢، وحوافه ٣ن، ورؤوسه ٢ن.

الهرم له قاعدة واحدة، وأوجهه الجانبية مثلثات تلتقي كلها في رأس واحد أعلاه. إذا كان لقاعدته ن أضلاع فعدد أوجهه ن + ١، وحوافه ٢ن، ورؤوسه ن + ١.

لتتأكد من عدّك استعمل هذه العلاقة: الأوجه + الرؤوس − الحواف = ٢. وهي صحيحة لكل مجسم أوجهه مستوية ولا ثقب فيه، كالمنشور والهرم. في المنشور السداسي: ٨ + ١٢ − ١٨ = ٢. وإذا أعطتك العلاقة في مجسم كهذا عددًا غير ٢ فقد أخطأت في العدّ.

كل المجسمات السابقة أوجهها مستوية. هناك مجسمات أخرى فيها سطح منحنٍ، ولها أسئلة تمييز خاصة بها.

الأسطوانة لها قاعدتان دائريتان متطابقتان ومتوازيتان، يصل بينهما سطح جانبي منحنٍ، وليس لها رؤوس. إذا فردت سطحها الجانبي صار مستطيلًا، لكن هذا المستطيل ليس قاعدتها، فقاعدتها دائرة.

المخروط له قاعدة دائرية واحدة، وسطح منحنٍ يضيق حتى ينتهي برأس واحد. أما الكرة فسطحها كله منحنٍ، فليس لها قاعدة ولا حافة ولا رأس.

تخيّل الآن أنك قصصت علبة على بعض حوافها وفردتها على الطاولة. الشكل المسطّح الذي تحصل عليه هو شبكة المجسم. كل وجه من أوجه المجسم يظهر في الشبكة مرة واحدة فقط.

أول ما تستفيده من الشبكة معرفة الأوجه المتقابلة، أي التي تصير متوازية بعد الطي. في شبكة المكعب: المربعان اللذان يفصل بينهما مربع واحد في خط مستقيم متقابلان. أما المربعان المتجاوران في الشبكة فلا يتقابلان أبدًا، لأنهما يلتقيان في حافة بعد الطي.

ليست كل ستة مربعات متصلة شبكة مكعب. لكي تحكم على شبكة، اطوِها في ذهنك: اختر مربعًا يكون قاعدة، واطوِ المربعات المتصلة به لتقف حوله، ثم أكمل. إذا سقط وجهان في المكان نفسه، وبقي مكان آخر مفتوحًا، فليست شبكة.

علامتان تكشفان لك الشبكة الخاطئة بسرعة: إذا وجدت خمسة مربعات أو أكثر في صف واحد فليست شبكة مكعب، لأن الصف يلتفّ ليكوّن أربعة جدران فقط. وإذا وجدت أربعة مربعات تكوّن مربعًا كبيرًا ٢ × ٢ فليست شبكة أيضًا، لأن هذه المربعات الأربعة لا تُطوى دون أن يتراكب اثنان منها.

انتبه إلى أن خطوط الشبكة ليست حواف المجسم كلها بعدد واحد. كل خط طيّ داخل الشبكة حافة واحدة. أما خطوط المحيط الخارجي فكل خطين منها يلتقيان عند الطي ليكوّنا حافة واحدة. في شبكة الصليب ٥ خطوط طيّ و١٤ خطًا على المحيط، فعدد الحواف ٥ + (١٤ ÷ ٢) = ١٢، وهو عدد حواف المكعب.

الفكرة نفسها تنطبق على بقية المجسمات: تتعرّف على المجسم من أوجه شبكته. شبكة متوازي المستطيلات ستة مستطيلات تتكوّن من ثلاثة أزواج متطابقة، كل زوج منها يصير وجهين متقابلين. شبكة المنشور الثلاثي مثلثان و٣ مستطيلات. شبكة الهرم الرباعي مربع و٤ مثلثات. شبكة الأسطوانة دائرتان ومستطيل. شبكة المخروط دائرة وقطاع دائري يشبه المروحة.

في القدرات قد تُعطى شبكة عليها أطوال ويُطلب منك حجم المجسم بعد الطي. حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع. المطلوب منك أن تستخرج الأبعاد الثلاثة من الشبكة. كل عدد يتكرر فيها على أكثر من وجه، لكنك تأخذ كل بُعد مرة واحدة فقط.