التقريب والحدود

للتقريب انظر إلى الرقم الذي يلي المنزلة المطلوبة مباشرة، وهو الحَكَم.

إن كان ٥ فأكثر فزِد رقم المنزلة واحدًا، وإن كان أقل من ٥ فاتركه.

ثم احذف ما بعد المنزلة إن كان بعد الفاصلة، أو اجعله أصفارًا إن كان قبلها.

قرّب مرة واحدة من العدد الأصلي، لا على مراحل.

إذا أُعطيت العدد بعد التقريب، فالعدد الأصلي يقع في مجال.

يبدأ المجال من القيمة ناقص نصف المنزلة، ويصل إلى ما دون القيمة زائد نصف المنزلة.

نصف الواحد ٠٫٥، ونصف الجزء من عشرة ٠٫٠٥، ونصف الجزء من مئة ٠٫٠٠٥.

للتقدير ضع مكان كل عدد عددًا سهلًا قريبًا منه، فتعرف حجم الناتج.

العدد القريب جدًا من ١ يكاد يساوي ١، وكذلك قوّته ذات الأس الصغير كالمربع والمكعب.

جذر العدد القريب من مربع كامل قريب من جذر ذلك المربع.

انتبه للفاصلة: √٠٫٩٩٧ قريب من ١، لا من √٩٩٧.

إذا تقاربت البدائل فلا تقرّب مبكرًا: قرّب عددًا واحدًا ثم صحّح الناتج.

للحصر ضع القيمة بين حدّين سهلين.

في الجذر: √٦٠ بين ٧ و٨ لأن ٦٠ بين ٤٩ و٦٤، وهو أقرب إلى ٨.

في الضرب: قرّب الأعداد إلى الأسفل مرة وإلى الأعلى مرة، فيقع ٣٢ × ٤٨ بين ١٢٠٠ و٢٠٠٠.

مع الطرح حدّد الإشارة أولًا: ٣ − √(١٥ + ٠٫٩٩٧) سالب وقريب جدًا من −١.

بعد الحساب قارن ناتجك بتقديرك. الفرق الكبير يعني خطأ في الفاصلة أو الإشارة أو خطوة منسية. وافحص الوحدة أيضًا.

التقريب سؤال عن المسافة: إلى أي العددين السهلين أقرب؟ خذ العدد ٣٧. يقع بين العشرتين ٣٠ و٤٠، ويبعد عن ٤٠ ثلاث خطوات فقط، وعن ٣٠ سبع خطوات. لذلك تقريبه لأقرب عشرة هو ٤٠.

المنتصف هو الفيصل. كل عدد بعد ٣٥ أقرب إلى ٤٠، وكل عدد قبله أقرب إلى ٣٠. أما ٣٥ نفسه فيقع في المنتصف تمامًا، والمتّفق عليه أن يُقرّب إلى الأعلى، فتقريب ٣٥ لأقرب عشرة هو ٤٠.

لا تحتاج إلى رسم خط أعداد في كل مرة، لأن الرقم الذي يلي المنزلة المطلوبة مباشرة يعطيك الجواب. نسمّيه الرقم الحَكَم. إن كان ٥ أو أكثر فزِد رقم المنزلة المطلوبة واحدًا، وإن كان أقل من ٥ فاتركه كما هو. بعد ذلك احذف كل ما بعد المنزلة المطلوبة إن كان بعد الفاصلة، أو اجعله أصفارًا إن كان قبلها.

انظر إلى الرقم الحَكَم وحده، ولا تقرّب على مراحل. تقريب العدد ٢٫٤٤٧ لأقرب جزء من عشرة هو ٢٫٤، لأن الحَكَم ٤. لو قرّبته أولًا إلى ٢٫٤٥ ثم إلى ٢٫٥ لأخطأت، فالعدد ٢٫٤٤٧ يبعد عن ٢٫٤ مسافة ٠٫٠٤٧، وعن ٢٫٥ مسافة ٠٫٠٥٣، أي إنه أقرب إلى ٢٫٤.

إذا كان رقم المنزلة المطلوبة ٩ واحتاج إلى زيادة، صار ١٠. عندها تكتب صفرًا وتحمل واحدًا إلى المنزلة التي قبله، كما تفعل في الجمع.

كثير من أسئلة القدرات تعكس السؤال، فتعطيك العدد بعد التقريب وتسألك عن العدد الأصلي. في هذه الحالة لا يوجد عدد أصلي واحد، بل مجموعة كاملة من الأعداد تُقرّب كلها إلى القيمة نفسها، ولهذه المجموعة حدّان.

لتجد الحدّين، تحرّك من القيمة المقرّبة نصف منزلة إلى الأسفل ونصف منزلة إلى الأعلى. إذا كان طول قطعة بعد التقريب لأقرب سنتيمتر ٢٠ سم، فطولها الحقيقي يبدأ من ١٩٫٥ ويصل إلى ما دون ٢٠٫٥، أي: ١٩٫٥ ≤ الطول < ٢٠٫٥. الحد الأدنى داخل المجموعة، أما الحد الأعلى فخارجها لأن ٢٠٫٥ يُقرّب إلى ٢١.

الطريقة نفسها تنطبق على الكسور العشرية، لكن نصف المنزلة يصغر معها: نصف الجزء من عشرة ٠٫٠٥، ونصف الجزء من مئة ٠٫٠٠٥.

بعد أن عرفت كيف تقرّب عددًا واحدًا، ستستعمل التقريب داخل الحساب نفسه، وهذا هو التقدير. تضع مكان كل عدد عددًا سهلًا قريبًا منه، فتعرف حجم الناتج في ثوانٍ، ثم تختار البديل الأقرب.

بعض الأعداد لها بدائل سهلة جاهزة. العدد القريب جدًا من ١، مثل ٠٫٩٩٨ أو ١٫٠٠٠٤، يكاد يساوي ١، وقوّته الصغيرة تكاد تساوي ١ أيضًا لأن ١ × ١ × ١ = ١. وجذر العدد القريب من مربع كامل قريب من جذر ذلك المربع، فجذر ٢٤٫٩ قريب من √٢٥ = ٥. انتبه للفاصلة: √٠٫٩٩٧ قريب من √١ = ١، لا من √٩٩٧.

التقدير التقريبي يكفي حين تكون البدائل متباعدة. أما إذا تقاربت البدائل فلا تقرّب مبكرًا: احتفظ بدقة أكبر، أو قرّب عددًا واحدًا فقط ثم صحّح الناتج.

لاحظ في المثال السابق اتجاه التقريب: إذا رفعت عددًا في الضرب صار التقدير أكبر من الحقيقة، وإذا خفضته صار أصغر منها. هذه الملاحظة هي مفتاح الجزء التالي.

أحيانًا لا تحتاج إلى قيمة تقريبية واحدة، ويكفيك أن تعرف أن القيمة تقع بين عددين. هذا هو الحصر: تجد عددًا سهلًا أصغر من القيمة وعددًا سهلًا أكبر منها.

أشهر استعمال للحصر هو تقدير الجذور. لتقدّر √٦٠ ابحث عن مربعين كاملين يحيطان بالعدد ٦٠: ٧² = ٤٩ و٨² = ٦٤. إذن √٦٠ بين ٧ و٨. وبما أن ٦٠ أقرب إلى ٦٤ (الفرق ٤) منه إلى ٤٩ (الفرق ١١)، فجذره أقرب إلى ٨، وقيمته نحو ٧٫٧.

وفي الضرب تحصر الناتج بأن تقرّب الأعداد إلى الأسفل مرة وإلى الأعلى مرة، فتحصل على حدّ أدنى وحدّ أعلى.

إذا جاء الجذر مع الطرح، فاحصر الجذر أولًا، ثم حدّد إشارة الناتج قبل أي شيء آخر، لأن الإشارة وحدها تستبعد نصف البدائل في الغالب.

بقي للتقدير دور أخير هو فحص الجواب بعد الحساب. قبل أن تعتمد ناتجًا حسبته بدقة، قارنه بتقديرك. إذا اختلفا اختلافًا كبيرًا فالخطأ غالبًا في موضع الفاصلة، أو في الإشارة، أو في خطوة منسية. وافحص الوحدة كذلك، فطول غرفة لا يكون ٤٠٠ متر.