الأعداد الصحيحة وترتيب العمليات

الجمع والطرح حركة على خط الأعداد: جمع الموجب يحرّكك يمينًا، وطرحه يحرّكك يسارًا، فمثلًا −٦ − ١ = −٧.

طرح السالب جمع: ٧ − (−٢) = ٧ + ٢ = ٩.

في الضرب والقسمة: الإشارتان المتشابهتان تعطيان موجبًا، والمختلفتان تعطيان سالبًا.

القسمة الطويلة فكّكها إلى أجزاء: ٩٩٣٣ ÷ ٣٣ = (٩٩٠٠ + ٣٣) ÷ ٣٣ = ٣٠٠ + ١ = ٣٠١.

عدد الأعداد من أ إلى ب، شاملًا الطرفين، يساوي ب − أ + ١.

إذا اجتمعت عدة عمليات في مقدار واحد فنفّذها بهذا الترتيب:

الضرب والقسمة درجة واحدة، فنفّذ منهما ما يأتي أولًا في المقدار. والجمع والطرح كذلك.

إذا كان ناتج القوس سالبًا فاكتبه مع إشارته بين قوسين.

خط الكسر يعني قوسًا حول البسط وقوسًا حول المقام.

إذا اجتمع ضرب وقسمة فاختصر قبل أن تضرب.

في المسألة اللفظية تكتب المقدار أنت. اختر العملية من العلاقة، لا من كلمة واحدة.

المقدار الثابت المتكرر يعني الضرب، والتوزيع بالتساوي يعني القسمة، و«الفرق» و«الباقي» يعنيان الطرح.

إذا قيل «أكثر منه بكذا» فاجمع إن كان المطلوب العدد الأكبر نفسه، واطرح إن كان المطلوب «بكم يزيد».

وإذا قيل «أقل منه بكذا» فاطرح إن كان المطلوب العدد الأصغر.

في الشراء والمقارنة اضرب في كل مجموعة أولًا، ثم اجمع أو قارن.

في الطابور: عدد الطابور = الترتيب من البداية + الترتيب من النهاية − ١.

حول الدائرة: عدد الجالسين = العدّ في الاتجاه الأول + العدّ في الاتجاه الثاني − ٢.

الأعداد الصحيحة هي الأعداد الموجبة ١، ٢، ٣، … والأعداد السالبة −١، −٢، −٣، … والصفر بينهما. تخيّلها مرتّبة على خط أعداد: يكبر العدد كلما اتجهت يمينًا، ويصغر كلما اتجهت يسارًا.

الجمع والطرح حركة على هذا الخط. جمع عدد موجب يحرّكك يمينًا، وطرح عدد موجب يحرّكك يسارًا. ابدأ دائمًا من العدد الأول، ثم تحرّك بمقدار العدد الثاني.

بقيت حالة واحدة: طرح عدد سالب. طرح أي عدد يساوي جمع معكوسه، فيصير طرح السالب جمعًا: ٧ − (−٢) = ٧ + ٢ = ٩. ستحتاج هذه القاعدة كثيرًا حين تفك الأقواس.

في الضرب والقسمة لا تحتاج إلى خط الأعداد. احسب الناتج كأن العددين موجبان، ثم حدّد إشارته بقاعدة واحدة.

قد تبدو القسمة في أسئلة القدرات طويلة، لكن لها غالبًا طريقًا مختصرًا: فكّك المقسوم إلى أجزاء يقبل كل منها القسمة بسهولة، ثم اقسم كل جزء واجمع النواتج.

آخر مهارة حسابية تحتاجها هي عدّ أعداد متتالية بين طرفين. عدد الصفحات من الصفحة أ إلى الصفحة ب، شاملًا الصفحتين، يساوي ب − أ + ١. السبب أن الطرح وحده يعدّ الفواصل بين الصفحات لا الصفحات نفسها، والفواصل أقل من الصفحات دائمًا بواحد.

حتى الآن حسبت عملية واحدة في كل مرة. فماذا لو اجتمعت عدة عمليات في مقدار واحد؟ خذ ٢ + ٣ × ٤: إن جمعت أولًا حصلت على ٢٠، وإن ضربت أولًا حصلت على ١٤. لا يصح أن يكون للمقدار الواحد قيمتان، ولذلك اتُّفق على ترتيب ثابت للعمليات، والقيمة الصحيحة هنا ١٤.

هذا الترتيب أربع درجات: الأقواس أولًا، ثم الأسس (القوى)، ثم الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح.

انتبه إلى الدرجتين الثالثة والرابعة. الضرب لا يسبق القسمة، والقسمة لا تسبق الضرب؛ اقرأ المقدار من بدايته، ونفّذ منهما ما تقابله أولًا. والأمر نفسه في الجمع والطرح.

إذا اجتمعت الدرجات كلها في مقدار واحد، فنفّذها درجة بعد درجة، وأعد كتابة المقدار بعد كل خطوة. بهذا لا تتجاوز عملية دون أن تنتبه.

قد يكون ناتج ما داخل القوس عددًا سالبًا. اكتبه مع إشارته بين قوسين، ثم طبّق عليه قاعدة الإشارات التي تعلّمتها: الطرح قبل عدد سالب يصير جمعًا، والضرب في عدد سالب يقلب الإشارة.

خط الكسر يعمل عمل قوسين: قوس حول البسط وقوس حول المقام. احسب البسط كله والمقام كله، ثم اقسم أحدهما على الآخر.

إذا اجتمع ضرب وقسمة بعد أن تنتهي من الأقواس، فيمكنك أن تختصر قبل أن تضرب، فلا تتعامل مع أعداد كبيرة.

في المسائل اللفظية لا يُعطى لك المقدار مكتوبًا، بل تكتبه أنت ثم تحسبه بما تعلّمته. القاعدة هنا: افهم العلاقة التي تصفها الجملة، ولا تختر العملية من كلمة واحدة فيها.

الضرب يأتي حين يتكرر مقدار ثابت، مثل عدد القطع × سعر القطعة. والقسمة حين يُوزَّع شيء بالتساوي. والطرح حين يُسأل عن «الفرق» أو «الباقي» أو «بكم يزيد أحدهما على الآخر». أما «أكثر منه بكذا» فتعني الجمع إذا كان المطلوب العدد الأكبر نفسه، و«أقل منه بكذا» تعني الطرح إذا كان المطلوب العدد الأصغر.

في مسائل الشراء والمقارنة اكتب المقدار كاملًا، ثم احسبه بترتيب العمليات: اضرب في كل مجموعة أولًا، ثم اجمع أو قارن.

النوع الأخير من المسائل اللفظية يعود إلى فكرة عدّ الصفحات: هل عددت شيئًا مرتين؟ في الطابور، ترتيب الشخص من البداية يعدّه هو ومن أمامه، وترتيبه من النهاية يعدّه هو ومن خلفه. الشخص نفسه دخل في العدّين، فتطرح واحدًا: عدد الطابور = الترتيب من البداية + الترتيب من النهاية − ١.

حول طاولة دائرية يختلف الأمر قليلًا. حين تعدّ من شخص إلى آخر في الاتجاهين، يبدأ المساران من الشخص نفسه وينتهيان عند الشخص نفسه، فيتكرر شخصان لا شخص واحد، وتطرح ٢: عدد الجالسين = العدّ في الاتجاه الأول + العدّ في الاتجاه الثاني − ٢. يصحّ هذا حين يُعدّ شخص البداية أولًا في الاتجاهين، وهو ما تنصّ عليه أسئلة القدرات عادة.