البواقي

كل قسمة تُكتب: المقسوم = المقسوم عليه × خارج القسمة + الباقي.

الباقي من ٠ إلى (المقسوم عليه − ١)، والباقي ٠ يعني أن القسمة تامة.

لحساب الباقي اطرح من العدد أكبر مضاعف للمقسوم عليه لا يتجاوزه.

مع الأعداد الكبيرة اطرح مضاعفات سهلة على مراحل.

والعدد الأصغر من المقسوم عليه باقيه هو نفسه.

إن أُعطي خارج القسمة والباقي فأضف الباقي: ٨ × ١٢ + ٥ = ١٠١.

وإن أُعطي الباقي وحده فالأعداد عائلة: باقي ٣ على ٧ يعني ٧ × ن + ٣، أي ٣، ١٠، ١٧، …

لتختبر عددًا اطرح منه الباقي، وانظر هل يقبل الناتج القسمة.

في المجموع أو حاصل الضرب أو إضافة عدد ثابت: طبّق العملية على البواقي ثم اختزل.

في الشروط المتزامنة اكتب عائلة المقسوم عليه الأكبر، واختبر أفرادها بالشرط الآخر.

شرط «يقبل القسمة على» هو باقٍ يساوي صفرًا، وعائلته مضاعفات المضاعف المشترك الأصغر.

بعد أول عدد تتكرر الحلول كل مضاعف مشترك أصغر: ٢٣، ٥٨، ٩٣، …

إن نقص كل باقٍ عن مقسومه عليه بالمقدار نفسه فأضف هذا المقدار لتصل إلى مضاعف مشترك: باقي ٤ على ٦ وباقي ٦ على ٨ يعطيان ٢٤ − ٢ = ٢٢.

وإن تساوت البواقي فالعدد − الباقي مضاعف مشترك: باقي ١ على ٣ و٤ و٦ يعطي ١، ١٣، ٢٥، …

في أسئلة الاختيار اختبر كل خيار بجميع الشروط.

تخيّل أن معك ٢٣ تمرة، وتريد توزيعها بالتساوي على ٤ أطباق. في كل جولة تضع تمرة واحدة في كل طبق، وتستمر ما دام معك ما يكفي لجولة كاملة. بعد ٥ جولات يصير في كل طبق ٥ تمرات، وتكون قد وزّعت ٢٠ تمرة. يبقى معك ٣ تمرات لا تكفي لجولة سادسة، وهذه الثلاث هي الباقي.

لكل عدد في هذه القسمة اسم. ٢٣ هو المقسوم، و٤ هو المقسوم عليه، و٥ هو خارج القسمة (نصيب كل طبق)، و٣ هو الباقي (ما لم يُوزَّع). وتربطها جميعًا علاقة واحدة: ٢٣ = ٤ × ٥ + ٣، أي: المقسوم = المقسوم عليه × خارج القسمة + الباقي.

فرّق جيدًا بين خارج القسمة والباقي. خارج القسمة يجيب عن سؤال «كم أخذ كل واحد؟»، والباقي يجيب عن سؤال «كم تبقّى؟». أسئلة القدرات تضع الرقمين كليهما في الخيارات، فاقرأ المطلوب قبل أن تختار.

لماذا توقفنا عند ٣؟ لو بقي معك ٤ تمرات أو أكثر لأعطيت كل طبق تمرة أخرى. لذلك يكون الباقي دائمًا أصغر من المقسوم عليه، ولا يكون سالبًا. فعند القسمة على ٤ لا يكون الباقي إلا ٠ أو ١ أو ٢ أو ٣، والباقي ٠ معناه أن القسمة تامة.

ومن هذه الفكرة تأتي طريقة سريعة لحساب الباقي بلا قسمة طويلة: ابحث عن أكبر مضاعف للمقسوم عليه لا يتجاوز العدد، ثم اطرحه من العدد. تخيّل أنك تقفز على خط الأعداد قفزات طول كل منها يساوي المقسوم عليه؛ ما يبقى بعد آخر قفزة كاملة هو الباقي.

إذا كان العدد أصغر من المقسوم عليه فالباقي هو العدد نفسه. باقي قسمة ٥ على ٩ هو ٥، لأن ٥ = ٩ × ٠ + ٥.

ومع الأعداد الكبيرة لا تحتاج إلى معرفة أكبر مضاعف مباشرة. اطرح مضاعفات سهلة على مراحل حتى يصبح ما بقي أصغر من المقسوم عليه.

كان العدد حتى الآن معروفًا، وكنا نبحث عن باقيه. في كثير من الأسئلة يحدث العكس: يُعطى الباقي ويُطلب العدد. والأداة هي العلاقة نفسها: المقسوم = المقسوم عليه × خارج القسمة + الباقي.

فإن لم يُعطَ خارج القسمة، فلا يوجد عدد واحد بل عائلة من الأعداد. كل عدد باقي قسمته على ٧ يساوي ٣ يُكتب على الصورة ٧ × ن + ٣ حيث ن عدد صحيح، وأفراد العائلة: ٣، ١٠، ١٧، ٢٤، ٣١، … تبدأ العائلة من الباقي نفسه، ثم تزيد ٧ في كل مرة.

ولتعرف هل ينتمي عدد معيّن إلى العائلة، اطرح منه الباقي: إن قبل الناتج القسمة على المقسوم عليه فالعدد من العائلة.

قد لا تعرف العدد نفسه بل باقيه فقط، ثم يُسأل عن باقي مجموع عددين أو حاصل ضربهما. الفكرة: كل عدد يتكوّن من حزم كاملة من المقسوم عليه وباقٍ صغير. الحزم الكاملة لا تترك باقيًا أبدًا، فلا يؤثر في الجواب إلا البواقي.

والضرب كالجمع: اضرب البواقي ثم اختزل الناتج. ولترى السبب، ارسم حاصل الضرب مستطيلًا طول كل ضلع فيه حزمة من ٧ وباقٍ. كل جزء من المستطيل له ضلع يساوي ٧ هو مضاعف لـ٧، فلا يبقى إلا الجزء الذي ضلعاه هما البواقي.

وإضافة عدد ثابت تُعامَل بالطريقة نفسها. إذا كان باقي قسمة عدد على ٦ يساوي ٥، فباقي قسمة (العدد + ٤) على ٦ هو ٥ + ٤ = ٩، ثم تختزله: ٩ − ٦ = ٣. مثلًا العدد ١١ باقيه ٥، و١١ + ٤ = ١٥ = ٦ × ٢ + ٣.

بقيت الخطوة الأخيرة: أن يجتمع على عدد واحد شرطان أو أكثر، كأن يكون له باقٍ معيّن عند القسمة على عدد، وباقٍ آخر عند القسمة على عدد آخر. العائلات التي تعلّمتها للتو هي المفتاح: اكتب عائلة أحد الشرطين، ثم اختبر أفرادها بالشرط الآخر، ولا تجرّب الأعداد عشوائيًا.

ابدأ بعائلة المقسوم عليه الأكبر، لأنها تقفز قفزات أكبر فتصل إلى الجواب في خطوات أقل.

بعد أن تجد أول عدد، تتكرر الأعداد التي تحقق الشرطين كل ٣٥، وهو المضاعف المشترك الأصغر لـ٧ و٥. فالأعداد: ٢٣، ٥٨، ٩٣، … وإن طُلب عدد في مدى معيّن فأضف ٣٥ حتى تصل إليه.

وشرط «يقبل القسمة على» هو في حقيقته شرط باقٍ يساوي صفرًا. فإذا طُلب عدد يقبل القسمة على عدة أعداد، فعائلته هي مضاعفات المضاعف المشترك الأصغر لتلك الأعداد، ثم تختبرها بشرط الباقي.

وهناك نمط يتكرر في الاختبار ويختصر العمل كله: أن يقلّ كل باقٍ عن مقسومه عليه بالمقدار نفسه. خذ عددًا باقي قسمته على ٦ يساوي ٤، وعلى ٨ يساوي ٦. كل باقٍ ينقص ٢ عن المقسوم عليه، فالعدد يقف قبل مضاعف لـ٦ بخطوتين، وقبل مضاعف لـ٨ بخطوتين. فإذا أضفت إليه ٢ وصل إلى مضاعف مشترك لـ٦ و٨.

والنمط المقابل أن تتساوى البواقي. إذا كان باقي قسمة عدد على ٣ وعلى ٤ وعلى ٦ يساوي ١ في كل مرة، فالعدد − ١ مضاعف مشترك لها جميعًا، أي مضاعف لـ١٢. فالأعداد: ١، ١٣، ٢٥، …، وأصغرها بعد ١ هو ١٣.

وفي أسئلة الاختيار من متعدد قد يكون الأسرع أن تختبر الخيارات مباشرة: اطرح الباقي المطلوب من الخيار، وانظر هل يقبل الناتج القسمة. لكن اختبر كل خيار بجميع الشروط لا بشرط واحد، فالخيارات الخاطئة تُصمَّم عادة لتحقق شرطًا وتخالف آخر.