التركيب والمكعبات الصغيرة

عدد المكعبات الصغيرة في صندوق = عدد الصف × عدد الصفوف × عدد الطبقات.

في مكعب على كل حرف منه ن مكعبات يكون العدد ن³.

إن أُعطيت أبعاد الصندوق وطول حرف المكعب الصغير، فاقسم كل بُعد على هذا الطول، ثم اضرب النواتج الثلاثة.

إن أُعطيت العدد الكلي، فخذ جذره التكعيبي ليكون ن، ثم اقسم طول الحرف على ن.

الفراغ: الباقي = حجم الكل − حجم الجزء المحفور، أيًّا كان موضعه.

المجسم المركّب: اجمع حجوم أجزائه، ولا تطرح شيئًا بسبب تلامسها.

يظهر وجه المكعب الصغير أو يُطلى فقط إن كان على السطح الخارجي.

الوجه الملاصق للطاولة أو لمكعب آخر مخفي، وفي كل موضع تلاصق بين مكعبين وجهان مخفيان.

إذا طُلي مكعب ن × ن × ن من الخارج ثم قُطّع، فموضع المكعب الصغير وحده يحدد عدد أوجهه المطلية:

الزاوية: ٣ أوجه مطلية، وعدد الزوايا ٨ دائمًا.

الحافة: وجهان، وعددها ١٢ × (ن − ٢).

وسط الوجه: وجه واحد، وعددها ٦ × (ن − ٢)².

الداخل: بلا طلاء ولا يُرى، وعددها (ن − ٢)³.

المطلي كله = ن³ − (ن − ٢)³.

إن أُعطيت عدد إحدى الفئات، فاستخرج منه ن − ٢ أولًا، ثم احسب المطلوب.

تخيّل صندوقًا مملوءًا بمكعبات صغيرة متطابقة. لا تحتاج إلى عدّها واحدًا واحدًا. عُدّ صفًا واحدًا، ثم اضربه في عدد الصفوف فتحصل على طبقة، ثم اضرب الطبقة في عدد الطبقات.

لهذا يساوي عدد المكعبات حاصل ضرب الأعداد الثلاثة على الطول والعرض والارتفاع. وإذا كان الشكل مكعبًا على كل حرف منه ن مكعبات، فعددها ن × ن × ن = ن³.

احفظ المكعبات الأولى لأنها تتكرر كثيرًا: ١، ٨، ٢٧، ٦٤، ١٢٥، ٢١٦، وهي من ١³ إلى ٦³.

قد يأتي السؤال بالعكس: يعطيك العدد الكلي للمكعبات الصغيرة، ويطلب طول حرف الواحد منها. العدد الكلي ليس عدد المكعبات على الحرف. خذ جذره التكعيبي أولًا لتعرف إلى كم جزءًا قُسم الحرف، ثم اقسم طول الحرف على هذا العدد.

وإذا أُعطيت أبعاد صندوق وطول حرف المكعب الصغير، فاقسم كل بُعد على طول الحرف لتعرف كم مكعبًا يصطف عليه، ثم اضرب الأعداد الثلاثة.

العدّ طبقةً طبقة هو نفسه حساب الحجم، لأن الحجم هو عدد المكعبات التي طول حرفها ١ وتملأ الشكل. ومن هنا تأتي فكرة الفراغ: إذا حُفر جزء من الشكل، فالباقي هو حجم الكل ناقص حجم الجزء المحفور، أيًّا كان موضع الحفرة.

وفي المجسم المركّب من أجزاء متلاصقة تعمل الفكرة بالعكس: احسب حجم كل جزء وحده ثم اجمع. تلامس الجزأين لا يغيّر الحجم، فلا تطرح شيئًا بسببه.

بقي نوع ثالث من الأسئلة لا يسألك كم مكعبًا، بل كم وجهًا يظهر أو يُطلى. المبدأ واحد: وجه المكعب الصغير يظهر أو يُطلى فقط إذا كان على السطح الخارجي، أما الوجه الملاصق لمكعب آخر أو للطاولة فمخفي.

طبّق المبدأ نفسه على مكعب كبير طُليت أوجهه الخارجية كلها ثم قُطّع إلى مكعبات صغيرة. عدد الأوجه المطلية لكل مكعب صغير يحدده موضعه فقط.

الزاوية تلتقي عندها ثلاثة أوجه فيُطلى منها ٣ أوجه، وللمكعب ٨ زوايا دائمًا. مكعب الحافة يقع على حرف دون أن يكون زاوية، فيُطلى وجهان. مكعب وسط الوجه يُطلى وجه واحد. أما المكعب الداخلي فلا يلمس السطح، فلا يُطلى ولا يُرى من أي جهة.

لتعرف عدد كل نوع في مكعب ن × ن × ن مهما كبر، انظر إلى وجه واحد منه. في الرسم التالي كتبنا في كل خانة عدد الأوجه المطلية للمكعب الصغير الذي فيها.

على كل حرف ن مكعبات، طرفاه زاويتان، فيبقى ن − ٢ مكعب حافة. وللمكعب ١٢ حرفًا، فعدد ذوات الوجهين ١٢ × (ن − ٢). وعلى كل وجه مربع داخلي ضلعه ن − ٢ فيه (ن − ٢)² مكعبًا بوجه واحد، وللمكعب ٦ أوجه، فعددها ٦ × (ن − ٢)².

وإذا قشّرت الطبقة الخارجية كلها نقص كل حرف ٢، واحدًا من كل طرف، فيبقى في الداخل مكعب حرفه ن − ٢ فيه (ن − ٢)³ مكعبًا بلا طلاء. وهذه أيضًا المكعبات التي لا تُرى من أي جهة.

لاحظ أن الداخل غير المطلي هو فراغ داخل القشرة المطلية. لذلك إذا سُئلت عن المكعبات التي عليها طلاء، فاستعمل فكرة الكل ناقص الفراغ التي تعلّمتها في الأحجام: المطلي = ن³ − (ن − ٢)³.

وقد يعطيك السؤال عدد إحدى الفئات ويطلب فئة أخرى. استعمل الصيغة المعطاة لتجد ن − ٢ أولًا، ثم احسب ما يُطلب.

حالة خاصة: إذا كان ن = ٢ فالمكعبات الثمانية كلها زوايا، والصيغ الأخرى تعطي صفرًا، وهذا صحيح.