العناصر والقياس

كل قياس في الدائرة يبدأ من نصف القطر (نق)، وهو المسافة من المركز إلى أي نقطة على الدائرة.

القطر (ق) يمر بالمركز: ق = ٢نق، وهو أطول وتر.

المحيط = ٢ط نق = ط ق، بوحدة طول.

المساحة = ط نق²، بوحدة مربعة.

اترك ط رمزًا إلا إذا طُلب التعويض بقيمتها.

نادرًا ما يُعطى نق صراحة، فاستخرجه من الشكل:

دوائر متطابقة متماسة في صف: كل دائرة تأخذ من الطول قطرًا واحدًا.

مربع رؤوسه على الدائرة: قطر المربع (الضلع × √٢) = قطر الدائرة.

دائرة تمس أضلاع مربع: ضلع المربع = قطر الدائرة.

في المستوى الإحداثي: المركز منتصف القطر.

في المعادلة س² + ص² = عدد: العدد هو نق² لا نق. وإذا كان أمام س² وص² معامل فاقسم عليه أولًا.

العجلة تقطع في كل دورة محيطها كاملًا، فالمسافة = عدد الدورات × المحيط.

إذا ضُرب نق في عدد، ضُرب المحيط في العدد نفسه، وضُربت المساحة في مربعه.

زيادة ٢٥٪ تعني الضرب في ١٫٢٥.

إذا وصلت إلى نق² فاضربه في ط مباشرة، ولا حاجة إلى الجذر.

لربط المساحة بالمحيط: اكتب القانونين بالعلاقة المعطاة، ثم اقسم الطرفين على ط نق.

الدائرة هي كل النقاط التي تبعد المسافة نفسها عن نقطة ثابتة اسمها المركز (م). هذه المسافة الثابتة هي نصف القطر، ونرمز لها بالرمز نق. أي قطعة تصل المركز بنقطة على الدائرة هي نصف قطر، وكل أنصاف الأقطار في الدائرة الواحدة متساوية.

القطر (ق) قطعة تمر بالمركز وتصل نقطتين على الدائرة، فهو يتكوّن من نصفي قطر: ق = ٢ × نق، ونق = ق ÷ ٢. والوتر أي قطعة تصل نقطتين على الدائرة، والقطر أطول وتر فيها.

في أسئلة القدرات قلّما يُكتب نصف القطر صراحة، وغالبًا تستخرجه من الشكل. أول هذه الأشكال دوائر متطابقة متماسة: كل دائرة تشغل من الطول مسافة تساوي قطرها بالضبط، ما دامت الدوائر متماسة بلا تداخل ولا فراغ.

الشكل الثاني الشائع مربع ودائرة معًا، وفيه حالتان. إذا كان المربع داخل الدائرة ورؤوسه عليها، فقطر المربع يمر بالمركز، فهو قطر الدائرة. وإذا كانت الدائرة داخل المربع تمس أضلاعه، فضلع المربع يساوي قطر الدائرة.

وقد تأتي الدائرة في المستوى الإحداثي، وتبقى الفكرة نفسها: المركز منتصف أي قطر، وكل نقطة على الدائرة تبعد عنه مسافة نق. فإذا عرفت طرفي قطر أفقي فالمركز في منتصفهما، وأعلى نقطة على الدائرة تقع فوق المركز مباشرة بمقدار نق.

ومعادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل هي س² + ص² = نق². العدد في الطرف الأيمن هو مربع نصف القطر، لا نصف القطر نفسه. وإذا كان أمام س² وص² معامل فاقسم عليه أولًا حتى يصير المعامل ١.

بعد أن عرفت كيف تصل إلى نصف القطر، ننتقل إلى أول قياس يُبنى عليه: المحيط. المحيط هو طول الخط الذي يحيط بالدائرة، كطول خيط تلفّه حولها مرة واحدة.

في كل الدوائر، كبيرة كانت أو صغيرة، يكون المحيط أطول من القطر بنحو ٣٫١٤ مرة. هذه النسبة الثابتة هي العدد ط، وتقريبها ٣٫١٤ أو ٢٢/٧. لذلك: المحيط = ط × ق = ٢ × ط × نق.

الرسم السابق يفسّر أسئلة العجلات: في كل دورة كاملة تقطع العجلة مسافة تساوي محيطها كاملًا. لذلك المسافة = عدد الدورات × المحيط.

وفي الأشكال المركبة يبقى سؤالك واحدًا: أين القطعة التي تبدأ من المركز وتنتهي على الدائرة؟ طول هذه القطعة هو نق، ومنه تحسب المحيط.

ولأن المحيط = ط × ق، فالمحيط يتناسب طرديًا مع القطر: إذا ضُرب القطر أو نصف القطر في عدد، ضُرب المحيط في العدد نفسه. زيادة ٢٥٪ تعني الضرب في ١٫٢٥، وزيادة ٥٠٪ تعني الضرب في ١٫٥.

المحيط يقيس الإطار، أما المساحة فتقيس ما بداخله. الخلط بينهما أصل كثير من الأخطاء، فحدّد المطلوب قبل أن تكتب أي قانون.

المساحة = ط × نق²، أي تربّع نصف القطر ثم تضربه في ط، ويكون الناتج بوحدة مربعة مثل سم². ويأتي التربيع من أن المساحة تُقاس بالمربعات: الدائرة تتسع لنحو ٣٫١٤ مربعًا، طول ضلع كل منها نق.

ولأن نق مربّع في المساحة، فالتكبير يؤثر في المساحة أكثر مما يؤثر في المحيط. إذا ضُرب نق في ٢ ضُرب المحيط في ٢ والمساحة في ٤، وإذا ضُرب نق في ٣ ضُرب المحيط في ٣ والمساحة في ٩.

وكثيرًا ما لا تحتاج إلى نق نفسه، بل يكفيك نق². إذا حصلت على نق² من معطيات السؤال فاضربه في ط مباشرة، ولا تضيّع وقتك في استخراج الجذر.

وتبقى الأسئلة التي تربط المساحة بالمحيط. اكتب القانونين، وضع بينهما العلاقة المعطاة، ثم اقسم الطرفين على ط نق، وذلك جائز لأن نق موجب دائمًا.